El pasado viernes 11 dedicamos la sesión de trabajo en el CEIP Antonio García López a reflexionar sobre la enseñanza de los algoritmos de la suma y de la resta. El punto de partida de la reflexión fue que, dado que en la actualidad tenemos a nuestro alcance (en nuestros bolsillos) formas muy sencillas de realizar operaciones complejas rápidamente, ¿tiene sentido enseñar los algoritmos como meras herramientas para realizar cálculos?
En mi opinión la respuesta es rotunda, no. Me explico, en el mundo de los adultos es poco probable que ninguno de nosotros recurra a cualquiera de los algoritmos que aprendimos en la escuela para realizar una operación. Es mucho más habitual recurrir al cálculo mental (incluso operando mediante aproximaciones, a veces no necesitamos el resultados exacto...) o, si queremos precisión y fiabilidad, utilizar directamente la calculadora de nuestro teléfono móvil. Por tanto, los algoritmos para realizar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) ya no parecen útiles. Sin embargo, no es menos cierto que, bien trabajados, los algoritmo pueden resultar fundamentales para ayudarnos a entender mejor la construcción de los números en el sistema decimal y las propiedades de las operaciones básicas.
Partiendo de esta idea, mi intención durante la sesión del viernes fue intentar mostrar a los compañeros del CEIP Antonio García López cómo trabajar los algoritmos de la suma y la resta para que sirvieran, no tanto como herramienta de cálculo, sino como vía para ayudar a los alumnos a mejorar sus comprensión de los números y las operaciones. Así, empecé por mostrar algunas ideas para introducir la estructura posicional del sistema decimal, la mayoría de ellas las saqué de la visita que hice hace algunas semanas al centro la Escola Gavina (podéis leer un breve resumen en esta entrada).
En efecto, el punto de partida para explicar los algoritmos de la suma y la resta de forma "razonada" es partir de la descomposición de los números, de esta forma, al trabajar durante la realización del algoritmo no se calcula con cifras sino que se tiene en cuenta el valor de una cifra según su posición. Al calcular de esta forma (podemos ayudarnos de materiales manipulables) evitamos conflictos con las llevadas. Veamos qué ocurre en el caso de la suma:
Cuando sumamos 45 más 83, lo que realmente hacemos es sumar 40 + 80 y, por otro lado, sumar 5 más 8. Si, en lugar de trabajar directamente con las cifras trabajamos con la descomposición de cada uno de los sumandos es más sencillo entender por qué "me llevo" una decena al sumar las unidades. Esto se ve aún mejor si nos ayudamos de los bloque multibase. Hay una herramienta en línea bastante útil que permite hacer este tipo de operaciones a través de un applet en java, podéis acceder desde aquí.
El mundo del algoritmo de la resta es aún más complejo. En efecto, existen distintos algoritmos para realizar las restas con llevadas, en las cuales una de las cifras del sustraendo es más grande que la cifra correspondiente en el minuendo. El problema en este caso es que, a veces, ni siquiera nos planteamos cuáles son las propiedades matemáticas que justifican los algoritmos que utilizamos, y, cuando las pensamos, observamos que son complejas. Me refiero, por ejemplo, a un de los algoritmos más habituales de la resta, el llamado "de pedir y pagar". Este algoritmo, en el cual cuando tenemos que restar 134-28, le añadimos 10 unidades al minuendo y una decena al sustraendo, se basa en la propiedad de que la diferencia de dos números se mantiene constante cuando a ambos les sumamos la misma cantidad (es decir, es lo mismo a-b que (a+x)ç(b+x)). Esta idea no es fácil de entender (a veces ni siquiera por los propios profesores cuando la explicamos). Para evitar esto, podemos intentar trabajar con los alumnos ése mismo algoritmo de forma desarrollada, trabajando no con cifras, sino con el valor de cada cifra. Pero, tal y como comenté el viernes en el CEIP Antonio García López, hay otras alternativas...
Volviendo a la resta de 134 menos 28, podemos pensar lo siguiente: restarle 28 a 134 es quitarle 2 decenas y 8 unidades. Vamos poco a poco...Dado que en el sustraendo tengo más unidades que en el minuendo, al realizar la resta "debo" 4 unidades (claro, si yo voy a comprar algo que vale 8€ y sólo pago 4€, debo 4€). Pasando al los órdenes superiores, no hay problema 100-0 es 100 y 30-20 es 10. Por tanto, la solución final será 100+10-4, es decir, 106. La idea es que, al descomponer el número dándole a cada cifra su valor posicional, voy a realizar una serie de sumas parciales y luego recompondré el resultado final (algunos resultados serán "negativos" y, por tanto, en la descomposición del resultado final pueden aparecer sumas o restas).
¿Cómo se haría 436-258?...Prometo explicarlo muy pronto a través de un vídeo. Hasta entonces, lo dejo en vuestras manos.
