Algoritmos...¿Sí?¿No?¿Por qué?

El pasado viernes 11  dedicamos la sesión de trabajo en el CEIP Antonio García López a reflexionar sobre la enseñanza de los algoritmos de la suma y de la resta. El punto de partida de la reflexión fue que, dado que en la actualidad tenemos a nuestro alcance (en nuestros bolsillos) formas muy sencillas de realizar operaciones complejas rápidamente, ¿tiene sentido enseñar los algoritmos como meras herramientas para realizar cálculos?

En mi opinión la respuesta es rotunda, no. Me explico, en el mundo de los adultos es poco probable que ninguno de nosotros recurra a cualquiera de los algoritmos que aprendimos en la escuela para realizar una operación. Es mucho más habitual recurrir al cálculo mental (incluso operando mediante aproximaciones, a veces no necesitamos el resultados exacto...) o, si queremos precisión y fiabilidad, utilizar directamente la calculadora de nuestro teléfono móvil. Por tanto, los algoritmos para realizar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) ya no parecen útiles. Sin embargo, no es menos cierto que, bien trabajados, los algoritmo pueden resultar fundamentales para ayudarnos a entender mejor la construcción de los números en el sistema decimal y las propiedades de las operaciones básicas.

Partiendo de esta idea, mi intención durante la sesión del viernes fue intentar mostrar a los compañeros del CEIP Antonio García López cómo trabajar los algoritmos de la suma y la resta para que sirvieran, no tanto como herramienta de cálculo, sino como vía para ayudar a los alumnos a mejorar sus comprensión de los números y las operaciones. Así, empecé por mostrar algunas ideas para introducir la estructura posicional del sistema decimal, la mayoría de ellas las saqué de la visita que hice hace algunas semanas al centro la Escola Gavina (podéis leer un breve resumen en esta entrada).

En efecto, el punto de partida para explicar los algoritmos de la suma y la resta de forma "razonada"  es partir de la descomposición de los números, de esta forma, al trabajar durante la realización del algoritmo no se calcula con cifras sino que se tiene en cuenta el valor de una cifra según su posición. Al calcular de esta forma (podemos ayudarnos de materiales manipulables) evitamos conflictos con las llevadas. Veamos qué ocurre en el caso de la suma:

bloques

Cuando sumamos 45 más 83, lo que realmente hacemos es sumar 40 + 80 y, por otro lado, sumar 5 más 8. Si, en lugar de trabajar directamente con las cifras trabajamos con la descomposición de cada uno de los sumandos es más sencillo entender por qué "me llevo" una decena al sumar las unidades. Esto se ve aún mejor si nos ayudamos de los bloque multibase. Hay una herramienta en línea bastante útil que permite hacer este tipo de operaciones a través de un applet en java, podéis acceder desde aquí.

El mundo del algoritmo de la resta es aún más complejo. En efecto, existen distintos algoritmos para realizar las restas con llevadas, en las cuales una de las cifras del sustraendo es más grande que la cifra correspondiente en el minuendo. El problema en este caso es que, a veces, ni siquiera nos planteamos cuáles son las propiedades matemáticas que justifican los algoritmos que utilizamos, y, cuando las pensamos, observamos que son complejas. Me refiero, por ejemplo, a un de los algoritmos más habituales de la resta, el llamado "de pedir y pagar".  Este algoritmo, en el cual cuando tenemos que restar 134-28, le añadimos 10 unidades al minuendo y una decena al sustraendo, se basa en la propiedad de que la diferencia de dos números se mantiene constante cuando a ambos les sumamos la misma cantidad (es decir, es lo mismo a-b que (a+x)ç(b+x)). Esta idea no es fácil de entender (a veces ni siquiera por los propios profesores cuando la explicamos). Para evitar esto, podemos intentar trabajar con los alumnos ése mismo algoritmo de forma desarrollada, trabajando no con cifras, sino con el valor de cada cifra. Pero, tal y como comenté el viernes en el CEIP Antonio García López, hay otras alternativas...

Volviendo a la resta de 134 menos 28, podemos pensar lo siguiente: restarle 28 a 134 es quitarle 2 decenas y 8 unidades. Vamos poco a poco...Dado que en el sustraendo tengo más unidades que en el minuendo, al realizar la resta "debo" 4 unidades (claro, si yo voy a comprar algo que vale 8€ y sólo pago 4€, debo 4€). Pasando al los órdenes superiores, no hay problema 100-0 es 100 y 30-20 es 10. Por tanto, la solución final será 100+10-4, es decir, 106. La idea es que, al descomponer el número dándole a cada cifra su valor posicional, voy a realizar una serie de sumas parciales y luego recompondré el resultado final (algunos resultados serán "negativos" y, por tanto, en la descomposición del resultado final pueden aparecer sumas o restas).

¿Cómo se haría 436-258?...Prometo explicarlo muy pronto a través de un vídeo. Hasta entonces, lo dejo en vuestras manos.

 

 

Resolución de problemas en el CEIP 9 d'Octubre de Tavernes Blanques

La resolución de problemas es uno de los escollos más importantes que los maestros de primaria encuentran en sus clases de matemáticas. 

La afirmación anterior fue el punto de partida de la sesión de trabajo de ayer en el CEIP 9 d'Octubre. Efectivamente, todos los asistentes coincidimos en que a los alumnos les resulta muy complicado enfrentarse a la tarea de resolver un problema aritmético y, por tanto, muchas veces, los maestros se sienten perdidos a la hora de proponerlos a sus alumnos. La mayoría de los maestros, a menudo guiados por las sugerencias de sus libros de texto, utilizan la resolución de problemas aritméticos para que los alumnos apliquen o evalúen los conocimientos adquiridos. Sin embargo, al trabajarlos exclusivamente de esta forma, se pasa por alto una idea importante: los problemas aritméticos pueden ser la herramienta para introducir dichos conocimientos. Esta idea se fundamenta en el hecho de que el conocimiento matemático, en particular, el relativo a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) se articula, no sólo a través de lo que los alumnos aprenden en sus clases sino, también, a través del conocimiento matemático informal que los alumnos desarrollan en sus actividades cotidianas.

Para entender mejor esta idea basta pensar en que los niños, en muchos de sus juegos, trabajan, sin darse cuenta, con operaciones aritméticas simples. Por ejemplo, cualquier juego basado en un sistema de puntos obliga a los alumnos a resolver, de forma natural, problemas aritméticos en los que tienen que realizar una o varias operaciones básicas.  Tener en cuenta esta idea puede  facilitar la introducción de los "dichosos problemas" en nuestras clases...¿cómo? La clave puede estar en dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas con sus propios métodos. Me explico con un ejemplo, vamos a fijarnos en el siguiente problema:

Esta mañana, al salir de casa, tenía 7 canicas, he estado jugando en el patio y, me ha ido bien, ha ganado algunas. Ahora tengo 15, ¿cuántas he ganado?

Este es un problema que, en algunos casos, puede resultar complejo a los alumnos ya que en el enunciado aparece la palabra "ganar", que sugiere la idea de "suma" y, sin embargo, la forma (óptima) de resolverlo es una resta. Sin embargo, si el alumno se limita a reproducir, con sus dedos o con cualquier material (¿por qué no unas canicas?) el enunciado del mismo, no hace falta más que saber contar para resolverlo correctamente: "tenía 7, voy contando hasta 15: 8, 9, 10, 11, 12, 13 14 y 15...¡ya está, he ganado 8!". O incluso, otro alumno puede pensar: "si a 7 le sumo 10...me paso. Si hubiera ganado 7 canicas...dos veces 7 son 14...no llego, me falta una, luego... ¡he ganado 8!".

Por tanto, la idea alrededor de la cual estuvimos discutiendo es que, una forma de ayudar a nuestros alumnos a que resuelvan problemas es dejarles que lleguen a la solución por el camino que les resulte más natural. Obviamente, en un primer momento, los alumnos no lo harán con la operación "óptima", pero es muy probable que lo resuelvan. Y, al fin y al cabo, ése debería ser el objetivo de la resolución de problemas.

Más adelante veremos, en otra entrada, que las operaciones pueden entenderse de distintas formas y que cada una de ellas se ajusta mejor a una formulación concreta de problema aritmético o a unos datos. Pero para que vayáis pensado os dejo un pregunta fácil:

Calculad (de cabeza) 104-6...¿cómo lo habéis hecho?

Ahora otra: 104-98...¿habéis hecho lo mismo?

Y, por último, dos problemas ¿distintos?

En las estrenas de Navidad me han dado 104€, he guardado en mi hucha 98€ para comprar una bici, ¿cuánto me queda para ir a la feria?

Tenía 6€ en la hucha y hoy la he llenado con las estrenas que he ido recibiendo. He contado lo que tengo y, en total, hay 104€. ¿Cuánto dinero me han dado?

Seguiremos discutiendo sobre esto muy pronto...¡os esperamos!

Irene Ferrando Palomare@IreneFerrando1

2ª sesión en el CEIP Antonio García. El primer paso es entender el problema

En la segunda sesión del Curso de Actualización de Matemáticas en Infantil y Primaria en el CEIP Antonio García de Valencia hemos trabajado la noción de problema aritmético.

Fue muy interesante observar diferentes tipos de problemas aritméticos que se pueden plantear a los alumnos, desde los problemas de resolución directa a partir de una única operación matemática hasta los problemas con varias soluciones aceptables y de varios procedimientos de resolución como podría ser el siguiente:

Un abuelo y su nieta salen a pasear al parque.
Entre los dos cuentan que la nieta puede andar entre dos árboles en 70 pasos. El abuelo necesita aproximadamente 30 pasos para la misma distancia.
El abuelo mide 180cm de alto.
¿Cuánta distancia hay aproximadamente entre los dos árboles?
¿Cuántos años puede tener la nieta?

Comentamos muchas formas de resolver este problema. Por ejemplo, una de las maestras propone hacer una regla de tres inversa, así, obtener que la niña debería de medir 78cm. de alto para concluir que tendría 3 años aproximadamente. La propuesta de resolución es aceptable aunque es fácil comprobar que no hay una relación exacta de proporcionalidad entre la altura y el tamaño de nuestro paso.

Otra  propuesta curiosa  fue calcular la longitud del paso de una persona que midiese 180cm. para poder obtener la medida del total del recorrido y, así, la longitud del paso de la niña sabiendo que ésta da 70 pasos. Esta propuesta se completa con otra que proponía calcular el tamaño medio del paso de los alumnos de los primeros cursos del colegio para poder aproximar mejorla edad de la niña.

Después de ver las diferentes propuestas que se muestran en los párrafos anteriores comenzamos una interesante tertulia sobre la necesidad de valorar positivamente las soluciones correctas a los problemas, aunque no se hayan resuelto de la forma (que nosotros consideramos) óptima. A continuación, comentamos las cuatro fases para resolver un problema según Polya (1957):

1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan de resolución.
3. Ejecutar el plan de resolución.
4. Examinar la solución obtenida.

En este momento empezamos un debate enfocado a  identificar cuál es el mayor problema en la resolución de problemas en Infantil y Primaria; fue muy interesante observar que todos los maestros coinciden en que la mayor dificultad del alumno es entender el problema y que uno de los principales handicaps es la falta de motivación para implicarse en la resolución del problema. Efectivamente, es importante que los alumnos observen la necesidad de proponer una solución a los problemas que se les plantean y que los consideren lo que son, problemas.

Un buen ejemplo que comentamos en la sesión para comprender la equivalencia entre calcular “cuatro veces dos” y “dos veces cuatro” puede venir dado, como se ve en la imagen, por tomar la misma cantidad final de lápices de colores rojos y verdes y que los alumnos hagan el conteo por ellos mismos. Dicho ejemplo puede ser utilizado para otras cantidades y para otras operaciones.

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Resumiendo, a mi juicio, el viernes pasamos un buen rato discutiendo sobre distintos aspectos relacionados con la resolución de problemas, un debate rico que, sin duda, continuaremos la próxima vez que nos veamos.

Juan Miguel Ribera Puchades ( @juanripu )

 

Descubriendo experiencias de aula en Escola Gavina...

Ayer por la tarde tuve la oportunidad, gracias a Sónia, una ex alumna de Magisterio, de asistir al claustro AKOE de Matemáticas para primaria. La reunión se celebró en una de las escuelas de la cooperativa AKOE, la Escola Gavina. Allí, profesores de diversos centros de la cooperativa se reunieron para exponer los materiales manipulativos que usan en sus clases de matemáticas de primer y segundo ciclo de Educación Primaria. La particularidad de casi la totalidad de los materiales presentados es que son lo que he llamado "Materiales DIY" (Do It Yourself), por lo que no hace falta disponer de muchos recursos para poder incorporar las ideas en una aula de un centro cualquiera,

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Distribución de las tareas trabajando por rincones

La visita fue muy enriquecedora ya que siempre es grato descubrir y aprender cuáles son los recursos que utilizan los maestros en sus aula. Los recursos destinados a primer ciclo de primaria estaban enfocados a introducir el sistema decimal principalmente a partir de la descomposición de los números de del cuadro de la centena, de esta forma, los alumnos se familiarizan fácilmente con el sistema decimal.  Una de las metodologías utilizadas en el aula por los profesores asistentes es el trabajo por rincones: el maestro propone 8 actividades distintas, todas ellas relacionadas con los mismos conceptos, y los alumnos se distribuyen por grupos en cada uno de los "rincones", disponen de un tiempo determinado para realizar la actividad y, por último se autoevalúan .

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Cuadro de la centena preparado para trabajarse como un puzzle

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Diferentes modelos de fichas para representar cantidades usando el cuadro de la centena o los agrupamientos por decenas

Según comentaron algunos de los maestros presentes, les resulta muy útil, en los primeros niveles, trabajar los números a través del cuadro de la centena. Es un cuadro en el que, en una cuadrícula 10x10, se representan los números del 1 al 100. De esta forma los alumnos relacionan la posición de los números en función de su descomposición decimal.

El 53 está en la fila cinco y la columna tres y, por tanto, se descompone como 5 decenas y 3 unidades. además, esta disposición permite trabajar algunas estrategias de cálculo mental: sumarle 14 a 53 equivale a bajar una fila y desplazarse de cuatro columnas hacia la derecha o, equivalentemente, sumar una decena y cuatro unidades.

 

 

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Actividades con calculadora

También me llamó la atención una serie de actividades destinadas a trabajar el cálculo mental y la estimación a través de la calculadora. se presenta a los alumnos una baraja de cartas con operaciones incompletas y ellos, en un solo intento usando la calculadora, deben "adivinar" cuál es el signo o el número que falta.

 

Me dejo muchas experiencias en el tintero porque sería muy largo narrar las buenas ideas que tuve la suerte de compartir, en cualquier caso, guardo muchas de ellas para reflexionar al respecto en el futuro.  Agradezco a Sónia y a Creu la invitación y espero que pronto tengamos otras oportunidades para discutir sobre experiencias de aula.

Irene Ferrando (@IreneFerrando1)

¡Inauguramos el curso en el CEIP Antonio García López de Valencia!

El pasado viernes 20 de noviembre inauguramos el curso de actualización en matemáticas para infantil y primaria en el CEIP Antonio García López de Valencia. La acogida de los profesores asistentes, encabezados por Merche, la PT del centro,  fue cálida y afectuosa, no éramos muchos, pero todos teníamos mucho interés por discutir propuestas para motivar a los alumnos de infantil y primaria.

Al tratarse de la primera sesión de trabajo, dedicamos los primeros minutos a las presentaciones y a establecer los objetivos para el curso que se desarrollará hasta finales del mes de abril. No me voy a entretener con los detalles del “qué haremos” pues ya lo iréis viendo a través de futuras entradas en el blog. Prefiero centrarme en algunos aspectos interesantes que surgieron durante la sesión y que, en mi humilde opinión, pueden ser de interés.

Presenté una serie de juegos para trabajar conceptos básicos de aritmética con niños de infantil y primaria, en particular, se trataba de mostrar recursos diversos para trabajar el recitado de la sucesión numérica, el recuento, la cardinalidad sin recuento y la suma y la resta. Una de las actividades que más nos entretuvieron fue el juego de “Los números encuadrados”. Se trata de un juego de mesa para jugar por parejas, uno de los jugadores jugará con las fichas y las casillas rojas y el otro con las blancas.

El tablero es un cuadrado formado por 20 casillas rojas y blancas alternadas.

Números encuadradosCada jugador dispone de 10 fichas numeradas del 1 al 10 rojas o blancas según el caso. Por turnos cada jugador pondrá una de sus fichas numeradas en una casilla libre (siempre de su color).  El objetivo es “encuadrar números” de contrincante, es decir, conseguir que una de las fichas de jugador opuesto esté encajada entre dos fichas de forma que la del contrincante sea la suma o la diferencia de las dos nuestras.

Como la descripción de las reglas del juego es un galimatías, decidimos ponernos a jugar… Fue muy divertido ya que, durante la partida, fueron saliendo algunas ideas interesantes. Nos dimos cuenta de que, al contrario de los que se sugirió en un momento dado, es necesario considerar, en las reglas del juego, los encuadramientos con sumas y diferencias ya que, si no, habrían números que nunca se podrían encuadrad (el 1 y el 2 en el caso de considerar solo las sumas y el  10 considerando solo diferencias ¿Por qué?). Además se observó que el juego es interesante porque permite trabajar la suma y la resta como operación inversas, al tiempo que se ve la resta de forma indirecta, por ejemplo: imaginemos que jugamos con las fichas blancas y que, junto a nuestra ficha número 4, el contrincante ha puesto una ficha numerada con el 6. Para encuadrar su ficha roja tenemos dos opciones: si queremos encuadrar el 6 como suma de dos fichas blancas debemos pensar “¿cuánto hay que sumarle a 4 para obtener 6?”, lo que lleva, directamente a un problema que, aunque hable de “sumar”, se resuelve con una resta (o contando hacia delante). Este tipo de problemas es particularmente difícil para los niños, y, por tanto, plantear juegos como este puede ayudarles a que se acostumbre a utilizar la resta como operación óptima en problemas que parecen de sumar. La otra opción para ganar, es encontrar un número de forma que su diferencia con cuatro sea 6, de nuevo nos encontramos con un problema  “trampa”, se plantea a partir de la resta y, sin embargo, se resuelve mediante una suma.

Observamos por tanto como un juego que, en principio, parece sencillo puede ser una ayuda para trabajar algunos conceptos aritméticos que, tal y como comentaron los asistentes al curso, plantean bastantes problemas a los alumnos de cursos avanzados de primaria.

Otra idea interesante que surgió fue el modificar las reglas para facilitar el control del juego. Si dejamos que los alumnos pongan las fichas en cualquiera de las casillas de su color, puede pasar que ignoren por completo el objetivo del juego y que se limiten a poner las fichas a tun-tun. Una idea para evitarlo es insistir en que hay que encadenar una ficha tras otra, es decir, si empieza el jugador rojo poniendo una ficha, a continuación el jugador blanco pondrá otra al lado y, después, el rojo intentará encuadrarlo. Haciéndolo así llega un momento en que uno de los dos ya no puede seguir y podemos considerar, entonces, que el que ya no puede encuadrar más ha perdido. Visto así, es interesante pensar cuál es la estrategia para ganar siempre…pero eso os lo dejo a vosotros…

¡Hasta la próxima!

Irene Ferrando Palomares @IreneFerrando1

Curso en el CEIP 9 d’octubre (Tavernes Blanques). ¡Empezamos jugando!

En la primera sesión del Curso de actualización de matemáticas en infantil y primaria en el CEIP 9 d’octubre de Tavernes Blanques realizamos la presentación del curso y nos centramos en las metodologías para introducir nociones básicas de aritmética en Educación Infantil y Primaria.

Entre otras cosas, trabajamos nociones de aritmética básica a través de juegos en infantil y primaria. Dichos juegos, pueden realizarse para introducir, de manera informal, algunas nociones de aritmética básica. En particular, el objetivo es que los niños vayan, poco a poco, memorizando algunos hechos numéricos básicos (descomposiciones de números) para ir memorizando las tablas de sumar y así, en el momento de trabajar los algoritmos, hacerlo con más rapidez.

Para ello, presentamos el juego “La carrera hasta 10”:

Edad: 3, 4, 5 y 6 años

Material: una caja de fichas (hasta 30), cartones numerados del 1 al 4, pequeñas cajas (o ábacos abiertos) para guardar las fichas ganadas.

Consigna y desarrollo:

Juegan entre 2 y 4 alumnos sentados en torno a una mesa. En el centro de la mesa se disponen los cartones numerados boca abajo (números no visibles). Cada jugador coge, a su turno, una carta y la descubre delante de él. A continuación, debe coger un número de fichas igual al señalado por la carta y las guarda en su caja.Cartas

El primer jugador que complete 10 fichas debe anunciarlo, verificando los otros jugadores que es cierto. Este jugador gana un punto y sigue jugando. Si un jugador saca una carta que le hace sobrepasar las 10 fichas, debe devolver la carta a la mesa y pasar al jugador siguiente. El juego termina cuando uno de los jugadores ha obtenido 3 puntos.

En la sesión, observamos que los objetivos de juegos como este eran:

  1. Asociar una colección a un número.
  2. Trabajar el cálculo mental (en el problema original, la suma de números del 1 al 4).

Y fue, en la misma sesión, donde estuvimos analizando las diferentes formas de adaptar dicho problema a cursos superiores de primaria.

Una de las variaciones propuestas, fue la posibilidad de utilizar valores diferentes a la unidad en la asociación de cada símbolo. Así, cada una de las estrellas podrían contar 3 ó 25. Lo que se pretendería es trabajar las multiplicaciones a la vez que la asociación y el cálculo mental. Siguiendo el hilo de dicha variación, consideramos la posibilidad de incluir varios símbolos diferentes con valores diferentes, dándole una complejidad mayor dada la mayor cantidad de cálculos a realizar mentalmente. En todas estas situaciones, se debía de modificar el objetivo a conseguir.

Así mismo, consideramos interesante distribuir de forma diferente las figuras que representasen un mismo valor. En ese caso, se podrían considerar las diferentes distribuciones para el valor 4 como las que se proponen en la siguiente imagen. Destacar, como comentábamos en la sesión, que estamos acostumbrados a relacionar al 4 la primera de las distribuciones, dado que es aquella que aparece en los dados comunes y que, por ello, era interesante aportar otras distribuciones diferentes.

Cartas4

Concluimos pues que sería un juego interesante para poder modificar, dependiendo del curso a quién fuera dirigido. Fue una fructífera actividad proponer diferentes modificaciones al juego para modificar la dificultad de los distintos objetivos que esperamos alcanzar con dicho juego. Y una divertida sesión en la que jugamos como niños para ver como aprendían ellos (mientras disfrutábamos como ellos).

Juan Miguel Ribera Puchades  (@juanripu )

Hoy empezamos...

Hoy inauguramos dos cursos de formación dirigidos maestros de Educación Infantil y Primaria en el CEIP 9 d'Octubre de Tavernes Blanques y en el CEIP Antonio García López de Valencia. Mostraremos algunas propuestas para trabajar conceptos básicos de aritmética en Infantil y Primaria, esperamos que os guste, ¡gracias por confiar en nosotros!